Жеже → Априорная и апостериорная вероятности
Пока шёл по улице придумал себе простенькую задачу. Поделюсь с френдами, так как среди них оказались и физики с математиками. Она про вампиров и русскую рулетку, так как это поинтереснее, чем чёрные и белые шарики в урнах. Условие ниже.
Обезумевший от безделья вампир играет сам с собой в русскую рулетку. В пустой барабан шестизарядного револьвера заряжается один патрон с серебряной пулей. Остальные гнёзда барабана заполняются случайными патронами, у которых серебряные и свинцовые пули встречаются равновероятно. Далее вампир производит выстрел. Требуется найти следующие вероятности:
- Вероятность того, что до выстрела в барабане было поровну серебряных и свинцовых пуль.
- Вероятность того же события, что и в первом пункте, но при условии, что вампиру не повезло при выстреле. †
- Аналогично второму пункту, но при условии, что вампир только попортил себе одежду, т.е. получил безобидную свинцовую пулю.
Не смотря на простоту задачи, думал о ней целый день. А именно о механизме воздействия результата "эксперимента" на исходное распределение. То есть некоторая совокупность начальных гипотез Ai с вероятностью P(Ai) сообщают некому событию Z вероятность P(Z|Ai), а в случае наступления события Z происходит переоценка вероятности гипотез Ai к новым значениям P(Ai|Z). Весь набор вероятностей для исходной задачи показан снизу. До и после выстрела. Видно наглядно и искажение вероятностей начального распределения числа серебряных патронов в зависимости от налагаемых условий.
На все свои "Почему?" в итоге ответил. Кроме одного момента. Уже ночью всплыли мысли об информации, которая находится из формулы Шеннона:
H(ξ) = Sum[p(i)×Log[1/p(i)],{i,1,n}] (синтаксис из моей любимой Mathematica от Wolfram Research)
Так вот на примере этой задачи хотел получить или подтвердить некий закон сохранения информации. Посчитал уже сегодня количество информации, заключённой в начальных распределениях и в результате "эксперимента", но никакого сохранения не вышло. Ниже эти биты без расписанных вычислений.
- H(Z) = 0.97987 bit
- H(A) = 2.19819 bit
- H(A|Z) = 2.12066 bit
- H(A|
Z) = 2.03064 bit
Как интерпретировать эти результаты - не знаю. Но комбинациями со сложением и вычитанием результаты друг в друга не переводят. Буду ещё думать, что с информацией происходит, наверное. А может и не буду...
Картинка из инета :)
Комментарии
А переоценка вероятностей гипотез происходит, если считать вероятности по формуле Байеса: P(A)P(Z|A) = P(Z)P(A|Z). В ней P(Z) находится из безусловных P(A), а после наступления события Z пересчитываются условные P(A|Z). Именно это я и имел в виду под "переоценкой".
Я, конечно, не в курсе твоей метафизики, но вдруг мы совпадем в результатах в конце концов)))
Что у тебя времени свободного нету...
Времени нету реально. Первый выходной недели за три устроил себе только вчера, а так постоянные задачи и экзамены, так как сессия. На прошлой неделе в какой-то день 20 часов подряд работал. Просто это мозговая деятельность, она не требует какого-либо определённого пространства, инструмента. Ольгу с автобуса встречаю, на толчке сижу или засыпаю, а мозг всё думает и думает, невозможно остановится.