Жеже → Априорная и апостериорная вероятности

Пока шёл по улице придумал себе простенькую задачу. Поделюсь с френдами, так как среди них оказались и физики с математиками. Она про вампиров и русскую рулетку, так как это поинтереснее, чем чёрные и белые шарики в урнах. Условие ниже.

Обезумевший от безделья вампир играет сам с собой в русскую рулетку. В пустой барабан шестизарядного револьвера заряжается один патрон с серебряной пулей. Остальные гнёзда барабана заполняются случайными патронами, у которых серебряные и свинцовые пули встречаются равновероятно. Далее вампир производит выстрел. Требуется найти следующие вероятности:

  • Вероятность того, что до выстрела в барабане было поровну серебряных и свинцовых пуль.
  • Вероятность того же события, что и в первом пункте, но при условии, что вампиру не повезло при выстреле. †
  • Аналогично второму пункту, но при условии, что вампир только попортил себе одежду, т.е. получил безобидную свинцовую пулю.

Не смотря на простоту задачи, думал о ней целый день. А именно о механизме воздействия результата "эксперимента" на исходное распределение. То есть некоторая совокупность начальных гипотез Ai с вероятностью P(Ai) сообщают некому событию Z вероятность P(Z|Ai), а в случае наступления события Z происходит переоценка вероятности гипотез Ai к новым значениям P(Ai|Z). Весь набор вероятностей для исходной задачи показан снизу. До и после выстрела. Видно наглядно и искажение вероятностей начального распределения числа серебряных патронов в зависимости от налагаемых условий.

вероятности

На все свои "Почему?" в итоге ответил. Кроме одного момента. Уже ночью всплыли мысли об информации, которая находится из формулы Шеннона:

H(ξ) = Sum[p(i)×Log[1/p(i)],{i,1,n}] (синтаксис из моей любимой Mathematica от Wolfram Research)

Так вот на примере этой задачи хотел получить или подтвердить некий закон сохранения информации. Посчитал уже сегодня количество информации, заключённой в начальных распределениях и в результате "эксперимента", но никакого сохранения не вышло. Ниже эти биты без расписанных вычислений.

  • H(Z) = 0.97987 bit
  • H(A) = 2.19819 bit
  • H(A|Z) = 2.12066 bit
  • H(A|Z) = 2.03064 bit

Как интерпретировать эти результаты - не знаю. Но комбинациями со сложением и вычитанием результаты друг в друга не переводят. Буду ещё думать, что с информацией происходит, наверное. А может и не буду...

Русская рулетка

Картинка из инета :)

Копия из LiveJournal: 78293.html

Комментарии

avatar
(⊙_⊙)
avatar
Комментарий удалён
ответить
avatar
morontt
avatar
Ничего страшного :)
ответить
avatar
(⊙_⊙)
avatar
Комментарий удалён
ответить
avatar
morontt
avatar
Я у тебя в журнале негодяя только что отловил со скрытой ссылкой.
ответить
avatar
notova
avatar
А в чем заключалась гипотеза?
ответить
avatar
morontt
avatar
О какой именно гипотезе идёт речь?
ответить
avatar
notova
avatar
Я про "некий закон сохранения информации".
ответить
avatar
morontt
avatar
Почудилось мне, что информация, заключённая в условном начальном распределении будет равна информации, заключённой в безусловном начальном распределении минус некая информация, заключённая в условии. Но не выходит так :) Или я не то что-то считаю.
ответить
avatar
laraturush
avatar
Ой, какой тёмный лес! И скучно сразу! И "несмотря на простоту задачи" тему сразу хочеться сменить!!!
ответить
avatar
morontt
avatar
Чем дальше в лес, тем толще партизаны :)
ответить
avatar
iridos_indium
avatar
в русскую рулетку может не повезти только один раз =))
ответить
avatar
morontt
avatar
Смотря кому :) Горец вряд ли с тобой согласится.
ответить
avatar
iridos_indium
avatar
ну даже если и не согласится он неуязвим, так что для него эта игра бессмысленна =)))
ответить
avatar
morontt
avatar
В принципе да :) Вампиру из задачи тоже не повезло. Я ведь мог и оборотня какого вместо него придумать, или другую нежить. А можно было вообще без стрельбы обойтись.
ответить
avatar
(⊙_⊙)
avatar
Комментарий удалён
ответить
avatar
morontt
avatar
Фраза "переоценка вероятности гипотез" не подводит при вашем подходе к решению. По сути вы решаете три различные задачи, рассматривая всю совокупность возможных начальных событий и конечных исходов.

А переоценка вероятностей гипотез происходит, если считать вероятности по формуле Байеса: P(A)P(Z|A) = P(Z)P(A|Z). В ней P(Z) находится из безусловных P(A), а после наступления события Z пересчитываются условные P(A|Z). Именно это я и имел в виду под "переоценкой".

ответить
avatar
khaodar
avatar
А почему эти вероятности должны быть разными? На рулетке вероятность не меняется, независимо от того, что упало ДО. А вычислять вероятность события, делая условием его же исход - это, конечно, способно запарить мозг без бэ)))
ответить
avatar
morontt
avatar
В том то и дело, что вероятности меняются. Так как здесь упало не "До", а "После". Допустим, если вампир залепил себе в висок свинцом, то это полностью исключает возможность того, что в барабане было 6 серебряных пуль. Исход повлиял на начальное распределение вероятностей.
ответить
avatar
khaodar
avatar
Возможность-то, может, и исключает, но на ВЕРОЯТНОСТЬ не влияет никак, а только реализует один из вероятных исходов... Вот если б пуля оказалась резиновой %))))
ответить
avatar
morontt
avatar
Не знаю, что ты имеешь в виду. Но распределение вероятностей без условия и с условиями различны, на графике видно отчётливо.
ответить
avatar
khaodar
avatar
Проведи бесконечное количество опытов и все станет ясно)))))
ответить
avatar
morontt
avatar
Здесь, к счастью, этого и не потребуется. Всего возможно 192 исхода без наложения условий. Условия это количество ещё сокращают.
ответить
avatar
khaodar
avatar
Исхода всего два - помрет/нет. Вероятность, что помрет (серебро) = 7/12 = 58,(3)%.
Я, конечно, не в курсе твоей метафизики, но вдруг мы совпадем в результатах в конце концов)))
ответить
avatar
morontt
avatar
Это точно. Вне зависимости от взглядов результат совпадает.
ответить
avatar
Хуторная Елена
avatar
Н-да, хотелось бы понять хоть что-нибудь из того, что ты написал ))) Разве что про маявшегося дурью вампира запомнилось )))
ответить
avatar
morontt
avatar
Сам не понял, что хотел. Точнее понял, что хотел получить, но не получил в итоге. А запись подкинул просто так, для желающих порешать задачку.
ответить
avatar
Хуторная Елена
avatar
Гимнастика для ума )))
ответить
avatar
morontt
avatar
Зарядка для мозгов. Или просто для разогрева, а то и отдых даже.
ответить
avatar
Хуторная Елена
avatar
И удовольствие )))
ответить
avatar
morontt
avatar
Это зависит от исхода решения. Здесь ещё не всё срослось. Моя интерпретация не прошла.
ответить
avatar
Хуторная Елена
avatar
Значит, главное удовольствие еще впереди )))
ответить
avatar
morontt
avatar
Впереди ещё много чего. Вампира с револьвером пока оставлю на произвол судьбы, найду другие задачи, неважно из какой области.
ответить
avatar
Хуторная Елена
avatar
Тоже правильно. Нечего мусолить, раз душа не лежит.
ответить
avatar
(⊙_⊙)
avatar
Комментарий удалён
ответить
avatar
morontt
avatar
Просто умножения здесь не хватит. Надо будет после ещё складывать и делить :)
ответить
avatar
propovednick
avatar
А еще говоришь

Что у тебя времени свободного нету...
ответить
avatar
morontt
avatar
Re: А еще говоришь

Времени нету реально. Первый выходной недели за три устроил себе только вчера, а так постоянные задачи и экзамены, так как сессия. На прошлой неделе в какой-то день 20 часов подряд работал. Просто это мозговая деятельность, она не требует какого-либо определённого пространства, инструмента. Ольгу с автобуса встречаю, на толчке сижу или засыпаю, а мозг всё думает и думает, невозможно остановится.
ответить
37 комментариев Написать что-нибудь
Или войдите, чтобы не заполнять форму:
Адрес электронной почты нигде не отображается, необходим только для обратной связи.
Напрограммировано на Go 1.24.2, версия движка ecff48a