Жеже → Задачка

Наткнулся в сообществе ru_radio_electr на интересную задачку и засела она в голове, пока не решилась. Суть такова:

А вот любопытно, если взять обычный вакуумный (ламповый) диод прямого накала, подать строго стабильное идеальное анодное напряжение, последовательно с ним воткнуть идеальный динамик, а на накал подать обычную 50гц синусоиду, то какой будет спектр у излучаемого звука? Известно, что эмиссия от температуры зависит нелинейно, эмиссия не зависит от полярности тока накала, нить накала нагревается не мгновенно, теплоотдача нити тоже нелинейно зависит от тока накала. В общем, если всё это аккуратно учесть, то какой спектр будет у звука из идеального динамика?

Для привлечения внимания ламповодов вставляю тематическую картинку :) Исходники для его изготовления стащил отсюда.

А теперь решение. Раздумывать что такое идеальный динамик я не стал, заменил его идеальнейшим активным сопротивлением. Тут тебе и идеальная АЧХ, и отсутствие реактивной составляющей сопротивления, никаких магнитных и механических явлений, которые обязательно бы сказались на генерируемом им спектре звука. Далее приходится забить болт на температурные эффекты, про которые говорится в условии. Ведь если лампа работает вдали от насыщения, то влиянием колебаний температуры катода можно пренебречь, а зависимость тока от анодного напряжения для диода (который, кстати, тоже идеальный) будет иметь вид:

i = Const*U^(3/2)

Постойте! - скажет внимательный читатель, - ведь у нас строго стабильное анодное напряжение... Однако придётся его разочаровать, ведь диод то по условию прямонакальный, а значит, и потенциал разных точек катода будет различным. Нам очень повезло, так как в идеальной сферическом диоде в вакууме потенциал по катоду меняется линейно, т.е. анодный ток легко получить несложным интегрированием, считая что каждый участок dx даёт ток строго по закону 3/2.

Все выкладки я засунул в один рисунок, что бы не париться с кучей мелких картинок. В первой строке l - длина катода, a = z/l, где z - напряжение накала.

Во второй строке записано получившееся выражение для ВАХ триода из задачи, а рядом расписан ряд Тейлора для этого выражения. Малый параметр в записи выбран неудачно, но это не меняет сути. Выглядеть данная штука будет вот таким образом:

i = Const*U^(3/2)*[1 + alpha1*f + alpha2*f^2 + alpha3*f^3 + ...]

, где f = z/u - малый параметр, alpha[i] - некие коэффициенты, в реальности зависящие от чего угодно, допустим, от геометрии катода и лампы в целом.

А вот теперь вспоминаем, что z = Sin[wt]. Степени синусов раскладываем через синусы и косинусы первой степени, но кратных аргументов. Вот теперь и видно наглядно, что полезла в сигнал динамика частота из цепи накала и высшие гармоники каких угодно порядков. Эффект показан качественно, если же необходимы конкретные цифры для спектра, то уж больно расплывчатое условие у задачи и экспериментальным путём решение может быть получено быстрее и проще (и точнее), чем аналитически. Если это вообще возможно сделать аналитически, с учётом дробового, допустим, или микрофонного эффектов (нить накала от переменного тока всё равно колеблется, как ни крути), да и кто вообще видел в сети идеальную синусоиду?