Программирование → Дракон Хартера - Хейтуэя

Читал книжку "Математические новеллы" Мартина Гарднера и попалась мне на глаза эта штука - кривая дракона. Сразу же захотелось её повторить, что я и проделал.

дракон 12-го порядка

Придумал эту кривую физик Джон Хейтуэй, а теорию разработали Вильям Хартер, Хейтуэй и Брюс Бенкс. Относится этот объект к фрактальным кривым и может быть получен рекурсивным способом, но о нём ниже. На рисунке выше изображён дракон 12-го порядка.

Для получения кривой было использовано её двоичное представление. В последовательности цифр двоичного числа единице соответствует поворот налево, а нулю - направо. Числа представлены ниже:

  • 1 - дракоша 1-го порядка
  • 110 - 2-го
  • 1101100 - 3-го
  • 110110011100100 - 4-го

и т.д. Алгоритм для любого порядка кривой следующий - к числу дракона Х предыдущего порядка справа дописываем 1 и тот же X, только с 0 в центре.

Поначалу мне показался удивительным тот факт, что хвосты драконов произвольного порядка лежат на логарифмической спирали, ведь из описанного метода построения никакие спирали вроде бы не следуют. Даже думал, каким образом это можно доказать, но только до тех пор, пока на глаза не попался рекурсивный метод её построения.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
FUNCTION dragon(x1, y1, x2, y2, k)
    IF (k > 0)
        xs = (x1 + x2) / 2 + (y2 - y1) / 2
        ys = (y1 + y2) / 2 - (x2 - x1) / 2
        dragon(x2, y2, xs, ys, k-1)
        dragon(x1, y1, xs, ys, k-1)
    ELSE
        line (x1, y1)-(x2, y2)
    END IF
END FUNCTION

Теперь логарифмическая спираль стала просто очевидной, ведь при каждой итерации начальный отрезок поворачивается на 45º и уменьшается в √2 раз

Ниже кривая 14-го порядка. Поверх каждого дракона нарисован дракон с меньшим на единицу порядком и цвета их чередуются (это чтобы лучше видеть, как они держутся крючковатыми своими плавниками за Spira mirabilis).

дракон 14-го порядка

А напоследок упомяну ещё за одну особенность. Если сцепить драконов головами (или хвостами), то они будут покрывать сетку на плоскости без пересечений друг друга. Существует также теорема, доказанная Дональдом Кнутом, о том, что четыре кривых дракона бесконечного порядка можно сцепить таким образом, что они полностью покроют всю сетку на плоскости.

4 дракона

Копия из LiveJournal: 25537.html

Комментарии

avatar
celevthil
avatar
красота)))
ответить
avatar
morontt
avatar
Старалсо :)
ответить
avatar
(⊙_⊙)
avatar
Комментарий удалён
ответить
avatar
morontt
avatar
Думал продолжить эту тему, но как то забил со временем. Можно ведь создавать другие подобные структуры, немного изменив правила их построения.

На счёт измерений - фракталы могут обладать любыми размерностями, в том числе дробными или иррациональными. Представить себе это невозможно, поскольку мы живём в мире целочисленных измерений и думаем такими же категориями.

ответить
avatar
sko4
avatar
http://vkontakte.ru/video1166262_121302808

в выходной почитаю, так хочется "осилить" хотя бы азы "этой темы" .
ответить
avatar
morontt
avatar
Выходных может и не хватить :) А вы то SEO-шник ещё тот!
ответить
avatar
sko4
avatar
разве плохо? )) если не сайты а ЖЖ дорого-уважаемых?

оптимизация и продвижение сайтов в поисковых системах требует знания принципов по которым поисковые роботы производят поиск и изменение кода сайтов, с тем чтобы сайт находился как можно выше в списках поисковых роботов
=чтобы ** находился как можно выше в
ответить
avatar
morontt
avatar
Кто здесь?
ответить
avatar
sko4
avatar
это ж я хотя и пять лет назад - придумывала для себя аватарку)) - меняю юзерпики, пробую формулировать...ммм..ну о : http://golden-knop.livejournal.com/410129.html?thread=3521297
... кстати картинки удалять оказалось действительно просто)) но ранее у меня не удалялясь... а что тогда такое за "фотоальбом" в меню?
ответить
avatar
sko4
avatar
когда сына еще небольшой был он как и многие карате "танцева" вот я и искала для него кружок не с ударами, а по типу аэробики , но как будто карате)) а сию фотку и обозначала отталкиваясь от той исстории:"танец карате", правда перчатки не для каратистов, а боксёрские
ответить
avatar
morontt
avatar
Я не аватарку имел в виду, а автора тех предложений, которые написаны выше.
ответить
avatar
sko4
avatar
автора тех предложений,

это я спрашивала у Дмитрия http://vkontakte.ru/album15346296_116566929
в айсикью, что такое SEO-шник :
в числе попыток мне истолковать, не зная предложения и ситуации, из-за которокорой я заинтересовалась было и такое предложение.
ответить
avatar
sko4
avatar
описание юзерпиков у ...

http://sko4.livejournal.com/54340.html?view=228164#t228164
Наташа подсказала, что юзерпики скорее по_настроению - взгляни, пожалуйста, что у меня получилось : "крик" да и только)))
ответить
avatar
bagerlock
avatar
как всё сложно))
"из вашего сочинения я ничего не понял, молодец, пять!" :D

а чем-нибудь подобным сейчас занимаешься?)
ответить
avatar
morontt
avatar
Если что-то интересное попадается на глаза, то делаю. Компьютер позволяет получать интересные штуки. Можете клацнуть тег моделирование. Хочу туда ещё записей добавить, но пока ничего нового не сделал.
ответить
avatar
bagerlock
avatar
Здорово)))
Подумалось, провести акцию - каждому откомментевшему - по такому вот узору или фракталу :D
Особенно понравилось когда утебя в движении работы))) Талант!)
ответить
avatar
morontt
avatar
Лепил отдельные кадры GIF-Animator-ом, первые (и последние) мои попытки :) А красота эта образуется сама в виртуальном пространстве, надо лишь задать правила. Может быть и все мы точно такие же симулякры (продукт симуляции) в чьей-то машинке.
ответить
avatar
notova
avatar
Так вот, что у тебя на аватарке - драконы! ;)
ответить
avatar
morontt
avatar
Они самые :) Их можно сцеплять не только хвостами, но и спинами.
ответить
19 комментариев Написать что-нибудь
Или войдите, чтобы не заполнять форму:
Адрес электронной почты нигде не отображается, необходим только для обратной связи.
Напрограммировано на Go 1.24.2, версия движка ecff48a